机械工程中常见振动的相平面分析液压元件

机械工程中常见振动的相平面分析

机械工程中常见振动的相平面分析 2011年12月04日 来源： 振动是机械工程中常见现象。随着科学技术的发展，对产品的质量、精度和可靠性都提出了更高的要求，因而在设计中不仅考虑静态特性，更重要的是要考虑动态特性。要获得良好的动态特性必须进行振动分析，即首先对研究对象进行建模再进行响应求解，这是比较常见的分析方法。这里则从另一角度即从振动的相轨迹来分析振动特性，这对进一步认清振动的本质，进行振动控制和利用都具有参考价值。1线性振动的相平面分析1.1有阻尼自由振动有阻尼自由振动是机械工程中最常见现象其振动微分方程如下：

（1）

m——质量，c——阻尼系数，k——刚度系数。在初始条件x(0),(0)作用下产生的振动规律为

(2)

式中：

(3)

(4)

于是

(5)

由式(4)、式(5)则构成相平面图(如图1所示)，由该图可以看出有阻尼自由振动相轨迹趋于稳定焦点。

图1有阻尼自由振动的相平面图

1.2有阻尼强迫振动这种振动是指在周期外力作用下的振动，如旋转件的不平衡引起的振动，其振动微分方程为：

(6)

Fo——激振力振幅；W——激振力频率。则x(t)=Fcos(wt-φ)(7)

(8)

(9)

于是

(10)

当取无量纲数值m=1,c=0.3,k=1,F=1,w=1.2时的相平面图如图2所示，可见有阻尼强迫振动相轨迹为一椭元。

图2有阻尼强迫振动的相平面图

1.3有阻尼共振对于(6)式当w=1其它参数取值不变时即为一共振系统，其方程为：

(11)

用数值方法求出x(t)、(t)。为分析阻尼系数的影响，图3给出了c=0.1c=0.5时的相平面图，从该图可以看出：有阻尼共振系统的相轨迹趋于一椭元，而且对阻尼系数比较敏感。

图3有阻尼共振的相平面图

2非线性系统相平面分析2.1非线性有阻尼共振系统对于如下非线性振动系统

(12)

由于该方程很难求出解析解，因此需用数值方法求解x(t),(t)。在计算时取m=1,c=0.1,0.5,k=1,ko=1,Fo=1,w=1,相平面图如图4所示，由该图可以看出，对于非线性共振系统其相平面图经过暂短的振荡之后趋于一极限环，而且该极限环对阻尼变化不敏感，当阻尼系数由0.5降至0.1时，极限环变化很小。这一结论对非线性振动的利用很有价值，在振动设备设计时可考虑采用非线性共振原理，这样可不受阻尼变化影响而使设备性能稳定，进而减小设备动载荷提高设备使用寿命。

图4非线性共振系统相平面图

2.2非线性分叉、浑沌系统考虑如下非线性系统：

(13)

这一非线性系统对激振力幅值F比较敏感，当改变F值时可获得丰富的振动性态。当F=0.28262时系统产生倍周期分叉，其相轨迹如图5所示。当继续加大F，在此基础上又出现倍周期分叉，当F=0.297时倍周期分叉达到临界状态，其相轨迹几乎连成一片(如图6所示)。当F=0.32时系统产生浑沌现象，其相平面图如图7所示。

图5非线性分叉系统相平面图

图6非线性分叉临界状态相平面图

图7非线性浑沌系统相平面图

3结论(1)用相平面法分析各种振动，可进一步加深对振动本质的认识。(2)这里分析表明非线性有阻尼共振系统其相轨迹对阻尼不敏感，因此有利于振动利用。(3)用相平面分析非线性分叉、浑沌系统是一种实用方法。■作者单位：张立军（辽宁工学院，锦州121001）曾庆东（锦州万得汽车减振器有限公司）刘志平（锦州铁合金厂）参考文献：［1］季文美，方同，陈松淇等.机械振动.北京：科学出版社，1985.［2］刘秉正.非线性动力学与浑沌基础.长春：东北师范大学出版社，1994.(end)

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